نقش تاريخ رياضيات در آموزش رياضيات
ژاك آدمار در كتاب روان شناسي ابداع در رياضيات از قول هانري پوانكاره مي نويسد:
«من بيان خواهم كرد كه حل فلان قضيه، تحت بهمان شرايط اتفاق افتاد؛ اين قضيه يك نام غير مصطلح دارد كه براي بسياري كسان بيگانه است، اما اين موضوع اهميتي ندارد، آنچه براي روان شناس رياضي جالب است، نه خود قضيه بلكه اوضاع و احوالي است كه به ابداع منجر ميشود.»
جميز كلارك ماكسول معتقد است، خيلي مفيد خواهد بود، اگر شاگردان در هر مبحثي، نوشته هاي دست اول مربوط به آن مبحث را بخوانند، زيرا علوم هميشه در همان صورتي كه تولد يافته اند، بهتر جذب ميشوند.
بنابراين، براي رسيدن به هدف هاي ظريفي كه توسط محققان آموزش رياضي در بالا پيشنهاد شده است، يعني «افزايش درك رياضي»، بايد تاريخ رياضيات را به عنوان يك ابزار موثر در دست معلم براي دادن بينش به دانشآموزان و برانگيختن علاقه آنها در نظر گرفت. اگر با كاوشي در تاريخ رياضيات بتوانيم دانشآموز را در اوضاع و احوالي قرار دهيم كه منجر به كشف يك قضيه يا فرايند حل يك مسأله شود در اين صورت تدريس را به طور جذابتر انجام دادهايم و دانشآموز با فكر خود «مانند يك رياضيدان» شروع به اكتشاف مي كند. در نتيجه دانشآموز با اين عمل مفاهيم را كمتر فراموش خواهد كرد و چه بسا با اين فرايند، دانشآموز بتواند مطالبي را با فكر خود بزايد، كه براي ما تازگي داشته باشد، زيرا رياضيات در حقيقت آفرينش آزادانه ذهن بدون هيچ محدوديتي به جز ماهيت خود ذهن است.
آشنايي با تاريخ رياضيات، تسلط معلمان رياضي را بر مباحث درسي كاملتر مي كند و به آنها امكان مي دهد تا موضوع تدريس خود را عميق تر و با احساس قويتري درك و تدريس كنند. تا اين جا دلايل لزوم آموزش تاريخ رياضي در كلاس درس ذكر شد، اكنون نقش تاريخ رياضيات در آموزش رياضي را به شش مورد ذيل تقسيم ميكنيم، سپس درباره هر كدام شرح مي دهيم:
1ـ تاريخچه مختصري از موضوع درسي ميتواند در دانشآموز ايجاد انگيزه و كلاس درس را زندهتر و جذابتر كند.
وقتي معلم، هنگام تدريس يك موضوع گوشه اي از تاريخ مرتبط با موضوع درسي را بيان مي كند، چون اينگونه مطالب براي دانشآموزان جذابيت دارد، بنابراين آنها به طور دقيق به اين مطالب گوش مي دهند و آمادگي كامل را براي خود درس پيدا ميكنند؛ يعني يكي از راههاي آماده كردن دانشآموزان در كلاس درس، گريزهايي است كه معلم به تاريخ رياضي ميزند. بنابراين آگاهي از روند پيدايش مفهومها و مباحث هر رشته علمي از جمله رياضيات، موضوع درسي را براي فراگيرنده آن ملموستر و جذابتر مي كند و اين امر، يادگيري مطالب رياضي را سريع تر و آسانتر مي كند. همچنين با اين كار، دانشآموزان به درك علت پيدايش مفهومها و موضوعهاي رياضي دست پيدا ميكنند و اين امر باعث ايجاد انگيزه براي آموختن يك موضوع درسي در دانشآموزان ميگردد. در زير به ارائه چند تاريخچه از مفاهيم رياضي مي پردازيم:
وقتي موضوع لگاريتم را تدريس مي كنيم، اگر وقت كلاس و ميزان اطلاعات دانشآموزان اين اجازه را به ما ندهد كه تاريخچه پيدايش لگاريتم را مطرح كنيم، دستكم بايد نامي از جان نپر و كارهاي شگفت انگيز او برده شود، به عنوان مثال؛ شگفت آور نيست كه نبوغ و قدرت تجسم نپر، بعضي ها را بر آن داشت تا وي را از لحاظ فكري نامتعادل پندارند و برخي ديگر او را به عنوان رواج دهنده سحر و جادو تلقي كنند، همچنين داستانهاي نپر را درباره خروس سياه زغالي … و كبوترهاي مزاحم همسايهاش …
بازگو كنيم.
هنگامي كه موضوع احتمال را تدريس مي كنيم، معمولاً تاريخچه علم احتمال را براساس بازي هاي شانسي معرفي مي كنيم،
در اين صورت درس براي دانشآموزان جذابتر شده و درمييابند كه رياضيات در زندگي روزمره آنها كاربرد دارد. در اين باره ميتوان گفت:
بازي هايي كه متكي بر شانس است، از زمان هاي بسيار قديم رايج بوده است. در حفاريهاي باستان شناسي، برخي وسايل و آثار مربوط به بازي هاي شانسي مشاهده شده است كه ميتوان از مكعبي استخواني كه روي وجه هاي آن عددهايي از 1 تا 6 نقش شده است، نام برد. امروزه در مواردي كه به راحتي نتوان يك انتخاب را برانتخاب ديگر ترجيح داد، از شانس استفاده ميشود؛ مثلاً براي شروع بازي از پرتاب سكه استفاده ميكنند يا براي قبول يا رد يك موضوع از قرعه استفاده ميكنند. در گذشته نيز خانوادههايي كه همسرشان را به روش سنتي انتخاب مي كردند، در حقيقت براساس شانس انتخاب همسر كردهاند. و در روزگار كنوني كساني كه قادر به تصميم گيري نيستند، به فال گيري و پيش گويي روي مي آوردند و از اين طريق بر شانس تكيه ميورزند.
نخستين مسألههاي مربوط به نظريه احتمال در سده شانزدهم ميلادي پديد آمد و مسألهاي كه انگيزهاي براي تولد احتمال شد، مربوط به دمره نامي از دوستان پاسكال بود؛ «قرار بود مبلغي پول بين دو نفر با انداختن يك تاس تقسيم گردد»، اين مسأله را پاسكال حل كرد. سپس حل خود را به فرما نشان داد، و فرما به ياري آناليز تركيبي اين مسأله را حل كرد. اكنون اگر كمي درباره تاريخ زندگي فرما صحبت كنيم. دانشآموزان درمي يابند كه بعضي از رياضيدانان بزرگ، شغل ديگري داشتهاند و براي اوقات فراغت و سرگرمي، رياضي ميخواندند.
«پيرفرما، فرزند يك تاجر پوست؛ درس حقوق خواند و در آغاز به عنوان وكيل مدافع به كار پرداخت، ولي بعد مشاور مجلس شد كه تا پايان زندگي خود آن را حفظ كرد. شغل فرما، هيچ ربطي به رياضيات نداشت، و اين از جلمه شگفتي هاست كه وي از همه وقت آزاد خود براي بررسي هاي رياضي استفاده مي كرد. »
در جلسه اول تدريس هندسه در دورة متوسطه، قبل از پرداختن به درس، ميتوان جذابيت اين درس را با اين جملات، كاملتر كرد؛ هندسه از معرفت ناخودآگاه موسوم به هندسپه ناخودآگاه شروع ميشود، ميتوان ناخودآگاه را علم مشترك انسان و حيوان معرفي كرد كه از مشاهده تصاوير، شكل ها و طبيعت شروع ميشود. براي مثال اگر آشيانه يك كلاغ دست كاري شود، ديگر كلاغ به آن لانه برنميگردد چون شكلي از لانه در ذهن دارد كه تغيير يافته است.
شكل اولين مفهوم رياضي است كه نزد انسان پيدا شده است و هندسه تجربي (هندسه بدون استدلال) را پديد آورده است.
«با استفاده از كاغذ يا مقوا، ميتوان به صورت شهودي مفاهيم و قضاياي هندسي را به صورت هندسه تجربي براي دانشآموزان ارائه كنيم.»
بالاخره هندسه در تاريخ خود به هندسه برهاني منجر ميشود كه با اصول موضوعه شروع ميشود. بنابراين مدل تكامل علم هندسه را ميتوان براي دانشآموزان به صورت زير بيان كرد.
 |
بعد از اين كه توانستيم در دانشآموز ايجاد انگيزه كنيم، بايد او را هدايت كنيم، كه وقت خود را براي حل مسائلي نگذارد كه امتناع آنها قبلاً ثابت شده است. به عنوان مثال، ما هنوز با دانشآموزان يا افرادي روبه رو هستيم كه درباره تثليث زاويه، تربيع دايره و تضعيف مكعب به كمك خط كش غير مدرج و پرگار، وقت صرف ميكنند؛ درحالي كه عدم اثبات اينگونه مسائل قبلاً ثابت شده است. بنابراين اگر معلم در كلاس با اطلاع از تاريخ رياضيات، اين صحبت ها را بازگو كند، ديگر كسي بي دليل وقت خود را تلف نميكند. اما كار برروي مسائلي كه امتناع آنها ثابت نشده است و مي دانيم كه بالاخره به طريقي بايد راه حلي براي آنها كشف كرد، مانند حدس گلدباخ ميتوانيم دانشآموزان را تشويق بهكار روي اينگونه مسائل كنيم و اين مسائل داراي ويژگي مهمي به صورت زير است:
«رياضيدانان و حتي غير رياضيداناني بر روي اين گونه مسائل كار كردهاند و بعضي از آن ها ادعا ميكردند كه توانستهاند اين مسائل را ثابت كنند، نكته مهم اين است كه رياضيدانان براي اين كه بتوانند اين مسائل را اثبات كنند، روشهاي جديدي را پيدا كردهاند و هم اكنون اين مسائل چه حل شده باشند، يا نباشند، چيزي كه باقي مانده و ارزشمند است، روشها و ديدگاههاي مختلف رياضي است.»
2ـ تقويت هدف پرورشي آموزش رياضي كه همان اعتقاد به خود و اتكاي به نفس در دانشآموز است.
اغلب دانشآموزان تصور ميكنند مطالبي را كه مي خوانند، از ابتدا به همين شكل، حاضر و آماده بوده است و كسي آن ها را پيدا نكرده، يا اين گونه مطالب به كمك تردستي و شعبده بازي به دست آمده اند. درحالي كه اگر مطالبي راجع به تاريخ رياضي گفته شود، دانشآموزان ميفهمند كه اين مطالب چه مراحلي را گذراندهاند. در ابتداي كار خيلي دقيق نبوده و به تدريج در طول سالها و شايد قرن ها به وسيله رياضيدانان به شكل امروزي درآمده است.
به همين مناسبت دانشآموز اعتماد به نفس يدا مي كند، اگر در جايي بي دقتي يا اشتباهي داشته باشد، متوجه ميشود كه رياضيدانها نيز در ابتداي كار چنين بودهاند و حتي بعضي از آن ها در نظر ديگران افرادي كندذهن به نظر ميآمدند. در زير به ارائه اينگونه مطالب مي پردازيم:
رياضيدان هاي اروپايي و ايراني به جواب هاي منفي معادله ها بي توجه بودند و به آنها اهميتي نمي دادند و آنها را جوابهاي دروغ و بي معنا مي دانستند. عددهاي منفي تنها وقتي مورد قبول عام قرار گرفتند كه سرچشمه واقعي آن ها پيدا شد. اين سرچشمه را هنديها با اين ديدگاه به وجود آوردند كه عدد كمتر از صفر را قرض و مقدار مثبت را دارايي مي ناميدند.
زماني كه بويويي و لباچفسكي در قرن 19 هندسه نااقليدوسي را ابداع كردند، آنها متوجه نبودند كه با ابداع هندسه نااقليدوسي، انقلابي در رياضيات به وجود آورده اند و مطمئناً هرگز تصور نميكردند كه صد سال بعد از اين كار، فيزيكدانان در فرمولبندي نظريه نسبيت، هندسه نااقليدوسي را درست همان ابزاري مييابند كه براي سادهسازي نظريه اينشتين نياز دارند. در حقيقت ابداع كنندگان مفاهيم و دستگاههاي رياضي، غالباً كاربردهاي اين مفاهيم و دستگاهها را پيش بيني نميكردند و چنين كاربرهايي، سالها بعد به روشهاي پيش بيني نشدهاي يافت ميشوند.
در كتاب مشهور «مقدمات» اقليدس، يك اصل وجود دارد كه ميگويد: «هركل، از جزء خود بزرگتر است.»
اين «اصل» چنان بديهي به نظر ميرسيد كه كسي كمترين ترديدي درباره درستي آن نداشت. ولي امروزه ميدانيم، كه اين اصل، تنها درباره مجموعه با پايان درست است. زيرا اگر فرض كنيم
[ 2 و 1 ] = A و (2 و1) = B مي دانيم B زير مجموعه A است درحالي كه طول دوبازه A و B برابر يكديگراند، يعني:
L A = L B
درباره نحوه پيدايش مشتق و ديفرانسيل ميتوان گفت:
مفهومهاي اصلي آناليز رياضي براي نيوتن بازتابي از مفهوم هاي مكانيك بود. نيوتن سادهترين شكلهاي هندسي يعني خط، زاويه و جسم را با جابه جايي مكانيكي در نظر ميگرفت. لايپ نيتس از درون هندسه به مفهوم مشتق و ديفرانسيل رسيد. درضمن، بسياري از اصطلاحهايي كه لايپ نيتس در نوشتههاي خود به كار برده است، چنان خوب انتخاب شده بودند كه تا امروز در رياضيات باقي مانده است، از جمله ميتوان اصطلاح هاي تابع، مختصات، منحني جبري و نمادهايي مانند: ∫ ، ý و dy را نام برد.
با آن كه نيوتن كوشيده بود، نظريه حد را با دقت بيان كند، بازهم كمبودهايي در آن ديده مي شد. از اين گذشته در استفاده نيوتن از مقدارهاي بي نهايت كوچك هم، ناروشني هايي به چشم ميخورد. همچنين لايپ نيتس و هواداران معاصر وي، تعريفي از كميتهاي بينهايت كوچك ارائه نداده اند. به اين ترتيب، آناليز رياضي به صورت ابزار نيرومندي براي مطالعة پديدهها در دست انسان بود، بدون اين كه خود آناليز رياضي به درستي در پايه هاي خود سازمان يافته و ساختاري منطقي داشته باشد.
بعدها ياكوب برنولي و فرانسوا هوپيتال ادامه دهندگان كار نيوتن و لايپ نيتس شدند و هوپيتال در سال 1696 كتاب
«آناليز بينهايت كوچك» را منتشر كرد كه بايد آن را نخستين كتاب منظم درسي در زمينه ديفرانسيل و انتگرال دانست. بالاخره كوشي (1789ـ1857) رياضيدان فرانسوي با تعريف كميتهاي بينهايت كوچك، توانست پايههاي آناليز رياضي را مستحكم كند.
3ـ معرفي رياضيدانان ايراني به عنوان الگو، حفظ و انتقال فرهنگ رياضي كشورمان به نسل آينده
معرفي رياضيدانان ايراني و كارهايي كه آنها انجام دادهاند، باعث ميگردد كه دانشآموزان الگوهايي درست در جهت فعاليت درسي انتخاب كنند. وقتي دانشآموزان بفهمند كه اساس حساب، جبر و مثلثات در ايران بنيان نهاده شده است و رياضيدانهاي ايراني، حتي مثلثات كروي را هم تجزيه و تحليل كرده بودند، در اين صورت نسبت به خودشان و كشورشان در مقابل ديگران احساس ضعف نميكنند. وقتي به تاريخ ارج گزارده شود، دانشآموزان درمي يابند كه اگر روزي در زمينه رياضيات كاري انجام دهند، بعدها از آنها نامي در تاريخ خواهد ماند و همين امر باعث ايجاد انگيزه در دانشآموز ميشود.
اگر به بناهاي سنتي و باستاني سراسر ايران با دقت بنگريم يا به موزه ها برويم و دست ساختههاي عتيقه و قديمي را ملاحظه كنيم، در اين صورت در همه آن ها، مفاهيم و شكلهاي هندسي را ملاحظه ميكنيم كه تجلي بخش معماري و صنعت ايراني است. بنابراين اين نوع دست ساختههاي رياضيوار و همچنين نوع زندگي (معيشتي، اعتقادي) و نوع كار كردن علمي رياضيدانان ايراني بخشي از فرهنگ ما را تشكيل مي دهد، كه معلم رياضي ميتواند آن را در كلاس درس به نسل آينده منتقل كند.
4ـ پاسخ گويي به بعضي از پرسش هاي دانشآموزان كه به اطلاعات دقيق تاريخ رياضي نياز است .
گاهي در كلاس درس، سؤالاتي براي دانشآموزان پيش مي آيد كه معلم براي پاسخ به آن ها بايد اطلاعات دقيقي از تاريخ رياضي داشته باشد. در زير به چند نمونه ميپردازيم:
واژه سينوس در حقيقت تغيير شكل يافته واژه لاتيني است كه ترجمه واژه عربي «جيب» است، كه رياضيدانان مسلمان اشتباهاً به جاي واژه هندي «جيا» به معني «نصف وتر» به كار مي بردند.
درباره عدد « e » ميتوان گفت: اولين كسي كه به اهميت اين عدد پي برد و آن را وارد رياضيات كرد، اولر بود، همچنين او نماد e را براي اين عدد گنگ كه از رابطه زير به دست مي آيد، به كار برد:
وقتي در جهان هستي، پديده هاي متنوع و بسياري وجود دارد كه مدل تغييرات آن ها متضمن عدد e مي باشد، به اهميت
عدد e بيشتر پي ميبريم (مانند رشد و زوال) و بي سبب نيست كه لگاريتم در پايه e را لگاريتم طبيعي مي نامند.
جان نپر اولين كسي بود كه لگاريتم در پايه e را به كار برد . در حل بعضي از مسائل رياضي، مانند مشتق تابع با ضابطه y=a x ، يكباره در مراحل حل مسأله، سروكله Lna پيدا ميشود. البته لازم به تذكر است كه تاريخچه اين نوع مطالب در رياضي، بايد توسط سازمانهاي دولتي و انتشاراتي و محققان از لابه لاي تاريخ رياضي بيرون آورده شود، تا در اختيار معلم قرار گيرد.
5 ـ آگاه ساختن دانشآموزان از بي توجهي يا كم توجهي كه غربيان نسبت به رياضيدانان شرق به خصوص ايران در آثارشان موجود است.
كتابهاي تاريخ رياضي كه تاكنون توسط غربيان نوشته شده است، به رياضيدانان شرق به خصوص ايران، بي توجهي يا كم توجهي كردهاند؛ و در اين مقوله دو اشكال وجود دارد، يكي اين كه اگر هم نامي از اين رياضيدانان ايراني بردهاند، از آنها رياضيدانان عرب يا رياضيدانان دربار الغ بيگ (نوه تيمور) نام بردهاند، چون رياضيدانان ايران در گذشته آثارشان را به زبان علم آن روز، يعني عربي مي نوشتند و اين دليلي بر عرب بودن آنها نيست، همان طور كه از اسامي رياضيدانان ايراني، مانند: كاشاني، كرجي، خوارزمي و ابوالوفاي بوزجاني (تربت جام) معلوم است، همه آن ها ايراني بودهاند و عرب نيستند. در اين زمينه بايد توجه داشت كه ما ضد عرب نيستيم، بلكه مي خواهيم هر كسي را در جاي حقيقي خودش قرار دهيم و به اهميت رياضيدانان ايراني پي ببريم. از طرفي تا حدود قرن 16، رياضيدانان غرب آثارشان را به زبان علم آن روز غرب، يعني لاتين مينوشتند، اما در كتاب هاي تاريخ رياضي همه آنها منسوب به كشور خودشان شدهاند.
تاريخ رياضي اگر درست نوشته شود. ميتواند هم نيروي ملي ما را زنده كند و هم به ما ياد دهد كه چگونه بايد از روي كارهاي ديگران، كار كنيم. اشكال ديگري كه در آثار غربي درباره تاريخ رياضي وجود دارد اين است كه آنها اغلب اسمهاي رياضيدانهاي ايراني را عوض كردهاند، براي مثال آبسين به جاي ابوعلي سينا يا ارتيموس به جاي نيريزي يا الگوريتم به جاي الخوارزمي. درضمن نام كتابها را نيز در ترجمه تغيير دادهاند مانند الگورتيموس به جاي كتاب حساب هندسي خوارزمي كه اين كتاب درباره اعداد است.
6 ـ جنبه هاي آموزش تاريخ رياضي
تاريخ رياضي فصل مشترك تاريخ و رياضي است. تاريخ رياضي مانند تشريح در علم پزشكي محسوب ميشود. اگر يك ماشين را در ابتدا ملاحظه كنيم، از اين همه وسيله كه در آن به كار رفته است، وحشت ميكنيم ولي اگر قسمتهاي مختلف ماشين را برايمان تشريح كنند، مطمئناً وحشت ما برطرف ميشود و هر قسمت را جداگانه متوجه مي شويم و ضريب توانايي هر قسمت را در كار ماشين درمي يابيم، در مباحث رياضي نيز اينچنين است.
در اين مقاله بيان كرديم كه اگر دانش آموز را در مراحل مختلف حل يك مسأله، مانند يك رياضيدان قرار دهيم، در اين صورت درس جذابتر و باعث ايجاد انگيزه خواهد شد. در زير به يك نمونه تشريح اين مسائل ميپردازيم: غياث الدين جمشيد كاشاني وقتي ميخواست Sin 1º را حساب كند، به طريق زير عمل كرد:
ابتدا با داشتن Sin 30 º و Sin 45 º توانست Sin 15º را محاسبه كند، سپس از روي ده ضلعي منتظم Sin 18 º را محاسبه كرد و سپس به كمك Sin 18º و Sin 15º توانست Sin 3º را محاسبه كند، در مرحله بعدي Sin º 3 را برحسب Sin 1 º به صورت زير نوشت:
4Sin 3 1º -3 Sin 1 º +Sin 3 º = 0
با فرض اين كه Sin 1 º = x ، خواهيم داشت:
4x 3 - 3x + Sin 3 º = 0
چون هر معادله درجه سومي را ميتوان به معادله ناقص تبديل كرد، در نتيجه كاشاني اين معادله را با هر تقريب دلخواهي به دست آورد.
توصيه هايي به جامعه رياضي دانشگاهي و مسئولان برنامه ريزي نيازهاي علمي و انساني
براي هر يك از كتابهاي درسي، يك كتاب منطبق با فصل هاي آن، براي تاريخچه لغات و تاريخ رياضيات تأليف كنند،
تا معلمان با دستي پر از تاريخ رياضي وارد كلاس شوند و دانشآموزان را از اين مطالب آگاه سازند.
در اين قسمت، يك توصيه همراه با يك گله دارم: هم اكنون در كشور ما حتي يك نفر هم نيست كه تحصيلات دانشگاهي وي در ارتباط با تاريخ علم يا تاريخ رياضي باشد و اين به آن جهت است كه تا به حال در ايران چنين رشتهاي در دانشگاه نداشتهايم و در حال حاضر، اگر كسي تمايل داشته باشد كه در چنين رشتهاي متخصص شود، جايگاهي براي او نداريم. در كشورهاي پيشرفته، متخصصين تاريخ علم رياضي مانند متخصصين ساير رشتهها وجود دارند. اما در ايران تعدادي از شاخه هاي رياضي پيشرفت كرده است و تعدادي از شاخه هاي رياضي مورد غفلت قرار گرفته اند، گويي مانند بچه اي كه نامتناسب رشد كرده باشد. بنابراين به خاطر نياز شديد ايران اسلامي به اين مهم، جايي براي اين رشته در دانشگاه باز كنيد؛ و از اساتيد محترم درس دو واحدي تاريخ رياضيات بهخصوص در دانشگاههاي تربيت معلم، ميخواهم كه اين درس را بيشتر از قبل جدي بگيرند (مانند جبر مجرد يا آناليز)، زيرا هم اكنون اين درس دو واحدي در بيشتر دانشكدههاي رياضي مظلوم واقع شده است
فهرست منابع:
( 1) ـ آشنايي با تاريخ رياضيات جلد اول و دوم ـ هاورد. ايوز/ ترجمه دكتر محمد قاسم وحيدي اصل / مركز نشر دانشگاهي
( 2 ) ـ رياضيدانان نامي ـ اريك تمپل بل/ ترجمه حسن صفاري/ انتشارات اميركبير
( 3 ) ـ گوشههايي از رياضيات دورة اسلامي ـ جي.ال. برگرن/ ترجمه دكتر وحيدي اصل و دكتر عليرضا جمالي
( 4) ـ رياضيات مدرسه در دهه 1990 ـ برايان ويلسون/ ترجمه ناهيد ملكي/ انتشارات دنا (دانش امروز)
( 5 ) ـ روان شناسي ابداع در رياضيات ـ ژاك آدمار/ ترجمه عباس مخبر/ نشر مركز
( 6) ـ رياضيات محاسبهاي/ تأليف پرويز شهرياري/ انتشارات فردوس
( 7)ـ مقاله تاريخچه احتمال ـ مجله رشد رياضي شماره 8/ نوشته دكتر عين ا... پاشا/ دفتر انتشارات كمك آموزشي
( 8) ـ تاريخ رياضيات (كتاب كوچك رياضي28)/ تأليف پرويز شهرياري/ انتشارات مدرسه